направленность

Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.
Направленностью в топологическом пространстве



X


{\displaystyle X}
называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества




A



{\displaystyle \mathrm {A} }
в



X


{\displaystyle X}
. Обозначения:





{

x

α


}


α
∈

A





{\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}
или просто




{

x

α


}



{\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}
.
Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел




N



{\displaystyle \mathbb {N} }
.
Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки



x


{\displaystyle x}
топологического пространства рассматривается семейство




B

x




{\displaystyle B_{x}}
всех её окрестностей. Отношение включения задает на




B

x




{\displaystyle B_{x}}
структуру направленного множества: окрестности



U
,
V
∈

B

x




{\displaystyle U,V\in B_{x}}
упорядочены как



U
⩾
V


{\displaystyle U\geqslant V}
, если



U
⊂
V


{\displaystyle U\subset V}
. Каждой окрестности



U
∈

B

x




{\displaystyle U\in B_{x}}
сопоставляется ее произвольная точка




x

U


∈
U


{\displaystyle x_{U}\in U}
, такое отображение



U
↦

x

U




{\displaystyle U\mapsto x_{U}}
является направленностью.

View More On Wikipedia.org