Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.
Направленностью в топологическом пространстве
X
{\displaystyle X}
называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
в
X
{\displaystyle X}
. Обозначения:
{
x
α
}
α
∈
A
{\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}
или просто
{
x
α
}
{\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}
.
Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
.
Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки
x
{\displaystyle x}
топологического пространства рассматривается семейство
B
x
{\displaystyle B_{x}}
всех её окрестностей. Отношение включения задает на
B
x
{\displaystyle B_{x}}
структуру направленного множества: окрестности
U
,
V
∈
B
x
{\displaystyle U,V\in B_{x}}
упорядочены как
U
⩾
V
{\displaystyle U\geqslant V}
, если
U
⊂
V
{\displaystyle U\subset V}
. Каждой окрестности
U
∈
B
x
{\displaystyle U\in B_{x}}
сопоставляется ее произвольная точка
x
U
∈
U
{\displaystyle x_{U}\in U}
, такое отображение
U
↦
x
U
{\displaystyle U\mapsto x_{U}}
является направленностью.
View More On Wikipedia.org