фурье

Ряд Фурье́ — представление функции



f


{\displaystyle f}
с периодом



τ


{\displaystyle \tau }
в виде ряда




f
(
x
)
=



a

0


2


+

∑

k
=
1


+
∞



A

k


cos
⁡

(

k



2
π

τ


x
+

θ

k



)



{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)}
Этот ряд может быть также записан в виде




f
(
x
)
=

∑

k
=
−
∞


+
∞






f
^




k



e

i
k



2
π

τ


x


,


{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},}
где





A

k




{\displaystyle A_{k}}
— амплитуда



k


{\displaystyle k}
-го гармонического колебания,




k



2
π

τ


=
k
ω


{\displaystyle k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega }
— круговая частота гармонического колебания,





θ

k




{\displaystyle \theta _{k}}
— начальная фаза



k


{\displaystyle k}
-го колебания,








f
^




k




{\displaystyle {\hat {f}}_{k}}
—



k


{\displaystyle k}
-я комплексная амплитудаВ более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.
Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

View More On Wikipedia.org